理论力学小论文

2013理论力学小论文

重心及其求法

201X级车辆工程2班 XXX 指导老师:张伟

摘要:

在工程中,物体重心的位置具有重要意义。汽车、轮船、飞机的重心位置,对其行驶或飞行的稳定性有直接的影响;高速运转部件的重心如果不在轴线上,将引起机械的剧烈震动,因此必须了解重心的概念和重心位置的求法。

一、 重心的概念

在地球表面附近的物体,它的每一部分都受到地球引力的作用,这些引力汇交于地球的中心,形成一个空间汇交力系,但由于我们所研究的物体其尺寸与地球的直径相比要小得多,因此可以近似地将物体上这部分力系看作是空间平行力系,这个平行力系的合力的大小即为物体的重量,合力的作用点即为物体的重心。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。不规则物体的重心,不一定在物体上,其求法也是多样的。

二、 物体重心坐标公式

2.1平行力系的中心

平行力系合力作用点的位置仅与各平行力系的大小和作用位置有关,而与各平行力的方向无关。

12

rC

Fr

F

iii

2.2 重心坐标的一般公式

将物体分成许多微小部分n份,各微小部分所受到的地球引力(重力)以

FG1FG2FGn表示,各微小部分作用点坐标为(x1y1z1)(x2y2z2)(xnynzn)

FG

则物体的重量为

FGin

1

n

FGi

重心的坐标用(xC,yC,zC)表示,根据空间力系的合力矩定理,对x轴取矩,则

Mx(FG)FG1y1FG2y2FGnynFGiyiMx(FG)FGycFGyc

FcycFGiyiyc

Gi

i

F

Gi

yi

FG

Fy

F

Gi

同理

xc

FGi

FG

Gi

xi

FGixi FGi

i

zc

F

zi

FG

FzF

GiGi

物体连同坐标轴转90度,而使坐标面oxz成为水平面,由重心的概念知,此物体重心的位置不变,再对x轴应用合力矩定理求Zc。

体积为V。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi,每个微小体积所受的重力为ΔFGi=γΔVi,其作用点坐标为(xi,yi,zi)。整个物体所受的重力为FG=∑△FGi。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式

2.3、均质物体重心(形心)坐标公式

对于均质物体(常把同一材料制成的物体称为均质物体),其容重γ为常量(物体每单位体积的重量),各微小部分的体积为则有

V1V2Vn,整个物体的体积为V

FG1V1

FC2VFGnVn

ii

FGFGiVxc

Vx

V

iii

i

Vx

V

i

i

yc

VyV

ii

ii

VyV

iii

zc

Vz

VVz

V

由上可知:①均质物体重心完全决定于物体的几何形状,而与物体的重量无关。②由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心,称为形心,上式也是物体形心的坐标公式。

③对于均质物体来说,形心与重心重合。

2.4 均质薄壳重心(形心)坐标公式

由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸,可忽略厚度不计,则

V1A1tV2AtVnAnt

VAt

i

i

xc

故形心公式为:

VixiV

ii

Aitxi

Ait

i

ii

AixiAi

ii

yc

Vy

VAty

AtAy

A

三、 物体重心与形心的位置求法

3.1积分法

若将平面图形分割成无穷多个微分面积dA,在极限情况下,上式写成:

法在图形上找到对称因素来确定物体的形心。如任意三角形ΔA B D(图1a)没有对称性,但可将任意三角形分割成无数平行于A B边的直线,每一条直线的重心在其长度中点上(对称点),将这些中点联起来形成一条重心迹线D E;用同方法,再将任意三角形分割成无数平行于A D边的直线,

得重心迹线B F(图1b),按对称律,任意三角形ΔA B D的重心必在D E与B F的交点O上(图1a)。

3.2.3图解法求均质组合物体的形心 对于较复杂的组合形体, 可将其分割成几个简单的形体, 这些简单形体的形心一般已知或易求,由于组合图形的形心是各部分图形的形心连线的交点, 因此可用图解法求组合图形的形心,该法简便实用。 3.3应用举例

3.3.1梯形形心的确定( 图2)

1)将梯形按图b 的方式分割成两三角形组成( 图a 红线示) ;

2)作图b 两三角形的对角线, 分别得形心点A、B, 将点A、B 相联, 得连线A B(图a 红线);

3)将梯形按图c 的方式分割成两三角形, 用以上相同作图法得连 线C D ( 图a 绿线) ;

4)线段A B 与线段C D 的交点O 即为梯形的形心( 图d 示) 。

3.3.2 角钢形截面形心的确定( 图3)

1)将图a 按图b 的方式分割成两块矩形, 作两矩形的对角线, 确

2)定形心点A 和B, 得联线A B; 2) 再将图a 按图c 的方式分割成两块矩 形, 用以上相同作图法得联线C D ; 3)线段A B和C D的交点即为角钢的形心O ,过形心O 的x ,y称为角钢的形心轴( 图a) 。 3.3.3 T 形截面的形心的确定( 图4)

1) 将“ T” 形按图a 的方式将其分割成角钢形1) 与矩形2) 组成( 如图红线) ; 2) 将 1)部分按图b 的方式分成两矩形, 作两矩形的对角线, 确定形心点A、B,

得联

线A B;

3) 将 1)部分按图c 的方式分成两块矩形, 用以上相同作图法得联线C D ; 4) 线段A B 和C D 的交点即为角钢的形心E ( 图d) ;

5) 作矩形2) 的对角线得形心点F, 将点E 和F 相联, 得联线EF( 图d) ;

6) “ T” 形左右对称, 故有一铅直对称轴y, 铅直对称轴y 与FE联线相交点O , 即为“ T” 形的形心。通过形心O 的x, y 称为“ T” 形的形心轴( 图f) 。

四、总结

每个物体都是由许多构件组成,研究每个构件的重心,对我们了解构件的运动方式及其之间的相互联系有十分重要的意义。通过一系列行之有效的求解物体重心的方法,有助于我们精确、高效地寻找物体重心。同时我们也可以看到,对于求解物体重心有多种方法。几何解析法虽然能帮助我们精确找到物体重心,但是其数学运算繁杂。相比而言,图解法求物体重心直观易求,简便实用。在实际需要中,我们可以根据需要选择相应的方法。

参 考 文 献

[1]韩美娥,周炳文.工程力第一版[M].重庆:重庆大学出版,2007.

[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学第四版[M]. 北京:哈尔滨工业大学出版社,1982. [3]胡仰馨.理论力学第一版[M].北京:高等教育出版社,1989


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